À partir de la 5e secondaire, le programme de maths dépend du nombre de périodes hebdomadaires choisi : 2, 4 ou 6. Ce ne sont pas trois vitesses du même cours, mais trois contenus différents. Les trois pistes voient les suites (arithmétiques et géométriques) et la statistique à deux variables. La piste 2 périodes s'arrête là, avec en plus les modèles de croissance ; les pistes 4 et 6 périodes ouvrent en plus l'analyse, avec les limites, les asymptotes, la dérivée et les fonctions trigonométriques ; la piste 6 périodes ajoute encore la continuité, ainsi que la géométrie vectorielle et la géométrie de l'espace, propres à elle seule.
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Quatre questions représentatives du programme de 5e secondaire, avec la réponse et la manière de l'expliquer à un enfant.
Réponse : 32
On avance de 9 pas depuis le premier terme : u₁₀ = u₁ + 9 × r = 5 + 27.
Réponse : 48
Chaque terme double le précédent : u₅ = u₁ × q⁴ = 3 × 16. On multiplie, on n'additionne pas.
Réponse : 12
La dérivée de xⁿ est n × xⁿ⁻¹ : ici f'(x) = 3x², donc f'(2) = 3 × 4.
Réponse : 3
On divise chaque terme par x : 3 + 2/x. Le terme 2/x tend vers 0 quand x devient très grand, il ne reste que 3.
Ces trois erreurs reviennent chez la plupart des élèves de cette année. Les reconnaître évite de faire réviser ce qui est déjà su.
Pour trouver un terme, l'élève additionne la raison au lieu de multiplier, ou l'inverse. La question à se poser avant toute formule : d'un terme au suivant, ajoute-t-on toujours le même nombre, ou multiplie-t-on toujours par le même nombre ? La réponse dicte la formule, jamais l'inverse.
Pour f(x) = x³, l'élève écrit f'(x) = 3x au lieu de 3x². La règle (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹ fait baisser l'exposant d'une unité, elle ne se contente pas de recopier le facteur devant. Vérifier sur x² (dérivée 2x, pas 2x²) installe le réflexe.
Devant une limite comme (3x + 2) / x, l'élève tente de « mettre l'infini dans la formule » et obtient une forme comme ∞/∞, qui ne se calcule pas telle quelle. Il faut d'abord transformer l'expression, ici en divisant chaque terme par x, avant de faire tendre x vers l'infini.
Les suites et la statistique à deux variables, communes aux trois pistes. Au-delà, le programme dépend du nombre de périodes choisi : voir la question suivante.
Toute l'analyse : limites, asymptotes, dérivée et fonctions trigonométriques. La piste 2 périodes n'aborde jamais ces notions, à aucun moment du secondaire, elle approfondit plutôt les suites, la statistique et les modèles de croissance utiles à la vie courante.
C'est la vitesse à laquelle une grandeur change à un instant donné, par exemple la pente d'une courbe en un point précis. C'est l'outil central de la piste 4 et 6 périodes à partir de la 5e, et il revient chaque année jusqu'au CESS.
C'est possible en théorie mais rarement simple, et ça dépend de l'école. Passer de 6 à 4 périodes pose peu de problème, la piste 6 périodes couvrant déjà tout le contenu de la piste 4. Passer de 2 à 4 périodes est plus délicat : la dérivée et les limites n'ont jamais été vues, il faut les rattraper en plus du programme de 6e.
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